নবম দশম শ্রেণির সাধারণ গণিত অনুশীলনী-১ এর কমন উপযোগী সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান

By

১। n একটি বেজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হলে n = 2x-1 যেখানে x ∊ N
(ক) স্বাভাবিক সংখ্যা কি?
(খ) দেখাও যে প্রদত্ত সংখ্যার বর্গ একটি বেজোড় সংখ্যা।
(গ) দেখাও যে প্রদত্ত সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 অবশিষ্ট থাকবে।

(ক) স্বাভাবিক সংখ্যা কি?
সমাধান:
ধনাত্মক, ঋণাত্মক এবং শুন্য এই সকল সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা। অপর দিকে শুধু ধনাত্মক সংখ্যাকেই বলা হয় স্বাভাবিক সংখ্যা।
সকল ধনাত্মক সংখ্যার সেট হচ্ছে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number)।
কিন্তু এই স্বাভাবিক সংখ্যার সেটে একটু দ্বিমত রয়েছে আর তা হচ্ছে ০ নিয়ে।
অনেকে স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ০ কে অন্তর্ভুক্ত করেন ।
আবার অনেকের ধারণা ০ স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। ।
তাই এর সেট কে {1,2,3...}, আবার {0,1,2,3......} এই ভাবেও প্রকাশ করা হয়।
স্বাভাবিক সংখ্যার দুই প্রকার।
১। মৌলিক সংখ্যা (Prime Number)
২। যৌগিক সংখ্যা (Composite Number)

খ) দেখাও যে প্রদত্ত সংখ্যার বর্গ একটি বেজোড় সংখ্যা।
সমাধান:
মনে করি, n একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা যেখানে n = 2x-1 [ যেখানে n ∊ N এবং x = 1,2,3,.... ]
∴ n = 2x-1
উভয় পক্ষকে বর্গ করিয়া পাই,
n2=(2x−1)2
বা, n2=4x2−4x+1
বা, n2=4x(x−1)+1
বা, n2=2×2x(x−1)+1
এখানে 2×2x(x−1) একটি জোড় সংখ্যা কারন সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি, কোন জোড় সংখ্যার সাথে 1 যোগ করলে সংখ্যাটি বিজোড় হয়।
অতএব, 2×2x(x−1)+1 একটি বিজোড় সংখ্যা।
অতএব, প্রদত্ত বিজোড় সংখ্যার বর্গ একটি বেজোড় সংখ্যা। (প্রমাণিত )

(গ) দেখাও যে প্রদত্ত সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 অবশিষ্ট থাকবে।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যার বর্গ = 2×2x(x−1)+1
= 4x(x−1)+1
এখানে, x-1 এবং x পর পর দুটি ক্রমিক সংখ্যা।
আমরা জানি,
দুটি ক্রমিক সংখ্যার গুনফল জোড় হয় অর্থাৎ 2 দ্বারা বিভাজ্য।

অতএব,
x(x−1) সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, 4×x(x−1) সংখ্যাটি 4×2 দ্বারা বিভাজ্য।

বা, 4×x(x−1) সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য।

এখন, প্রদত্ত সংখ্যার বর্গ 4×x(x−1) অপেক্ষা 1 বেশি।
অতএব, প্রদত্ত সংখ্যার বর্গকে অর্থাৎ 4x(x−1)+1 কে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 অবশিষ্ট থাকবে।


ভুল হলে ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন।
পরামর্শ গ্রহণ যোগ্য। আপনার আজকের পরামর্শ আগামীদিনে আরো সুন্দর কিছু লিখার অনুপ্রেরণা হিসাবে কাজ করবে।  

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

সব শ্রেণির শিক্ষার্থীদের জন্য ৬০টি গুরুত্বপূর্ণ বানান দেওয়া হলো। বাঁয়ে অশুদ্ধ ও ডানে দেওয়া হলো শুদ্ধ বানান

By
 সব শ্রেণির শিক্ষার্থীদের জন্য ৬০টি গুরুত্বপূর্ণ বানান দেওয়া হলো। বাঁয়ে অশুদ্ধ ও ডানে দেওয়া হলো শুদ্ধ বানান ১।বাঙ্গালী = বাঙালি। ২। বিদূষী = বিদুষী। ৩। ব্যার্থ = ব্যর্থ। ৪। দিবারাত্রি = দিবারাত্র। ৫। গ্রামীন = গ্রামীণ। ৬। উচিৎ = উচিত। ৭। স্থায়ীত্ত = স্থায়িত্ব। ৮। বাণিজ্য = বাণিজ্য। ৯। ঘুরাঘুরি = ঘোরাঘুরি। ১০। উচ্ছাস = উচ্ছ্বাস। ১১। আগমনি = আগমনী। ১২। আত্বস্ত = আত্মস্থ। ১৩। সচিত্রির = সচিত্র। ১৪। সখ্যতা = সখ্য। ১৫। বীরম্বনা = বিড়ম্বনা। ১৬। মুহূর্মুহূ = মুহুর্মুহু। ১৭। মহিষী = মহিষী। ১৮। নুন্যতম = ন্যূনতম। ১৯। কৃতিবাস = কৃত্তিবাস। ২০। সহযোগীতা = সহযোগিতা। ২১। রামায়ন = রামায়ণ। ২২। শ্বাশুড়ি = শাশুড়ি। ২৩। বাল্মিকী = বাল্মীকি। ২৪। দুঃস্ত = দুস্থ। ২৫। ননদী = ননদি। ২৬। প্রনয়িনী = প্রণয়িনী। ২৭। পানিনি = পাণিনি। ২৮। গৌন = গৌণ। ২৯। পিপিলীকা = পিপীলিকা। ৩০। অনুসূয়া = অনসূয়া। ৩১। সর্বশান্ত = সর্বস্বান্ত। ৩২। এসিস্টেন্ট = অ্যাসিস্ট্যান্ট। ৩৩। মনিজাল = মণিজাল। ৩৪। দূরাদৃস্ট = দুরাদৃষ্ট। ৩৫। পঁচা = পচা। ৩৬। নিরব = নীরব। ৩৭। ঋন = ঋণ। ৩৮। পুরান = পুরাণ। ৩৯। স্ব...
Read more

সহজে Preposition শিখার টেকনিক

By
Preposition নিয়ে আমাদের মনে একটা ভয় কাজ করে। কোন শব্দের পর কি বসবে- এই নিয়ে নানা চিন্তায় নাজেহাল হই আমরা। এডমিশন টেস্টের এক্স্যাম হলে বসে অল্প সময়ে সেটা ভাবাও বেশ কঠিন। এজন্যে Preposition ব্যাপারটাকে ভালোমতো শিখে এক্স্যামে ঠিকভাবে উত্তর করতে হলে কিছু শর্টকাট শিখে ফেলতেই হয়! শর্টকাট ১: In, on, at এসবের প্যাচে পড়ে প্রায়ই উত্তর ভুল হয় আমাদের। সহজেই কিন্তু এগুলোর সমাধান করা যায়। ১।  যখনই কোন বার দেয়া থাকবে, যেমন Sunday, Monday… তখন তার আগে on বসবে। কোন তারিখ যেমন ১৪ ফেব্রুয়ারি থাকলেও তার আগে on বসবে। ২।  যেকোন জায়গায় যদি সময় দেয়া থাকে, যেমন 10.00 AM, 12.00 PM তখন তার আগে সবসময় at বসবে। ৩।  তবে আলাদা করে শুধু বছর থাকলে যেমন 1972, 1999 বা মাস যেমন June, July থাকলে তার আগে বসবে in। একটা বৃত্ত ধরা হোক, যেটাকে আমরা শর্টকাট ৩ আমরা সবাই জানি, কোথাও গেলে, যেখান থেকে রওনা দিয়েছি সেটা হচ্ছে From, আর যেখানে যাচ্ছি সেটা হলো to। Preposition এর বেলাতেও ব্যাপারটা একই রকম। এখানে বাগড়া বাধায় towards। এই towards কিন্তু মোটেও to এর মতো না। t...
Read more

ইংরেজি গ্রামার এর sentence কাকে বলে? sentence কত প্রকার ও কি কি?

By
## Sentence কাকে বলে কত প্রকার ও কি কি? যে শব্দ বা শব্দ সমষ্টি দ্বারা মনের ভাব বা অর্থ সম্পূর্ণ ভাবে প্রকাশ পাই এবং যা সাধারণত কর্তা এবং ক্রিয়া দ্বারা গঠিত তাকে sentence বা বাক্য বলা হয় । Example: - We practice English everyday. (এখানে we হচ্ছে subject, verb হচ্ছে practice , English হচ্ছে object এবং everyday হচ্ছে adverb) একটি Sentence এ মূলত দুটি অংশ থাকে 1/Subject and 2/Predicate 1/ Subject কাকে বলে ? ইংরেজি বাক্যে Subject অতি গুরুত্বপূর্ণ একটি বিষয়। প্রায় সকল Sentence এ Subject এর ব্যবহার আছে। আবার Subject অন্যান্য উপাদানের উপর বিশেষ প্রভাব বিস্তার করে। তাই Subject সম্পর্কে স্পষ্ট জ্ঞান থাকা আবশ্যক। আমরা এখানে সংক্ষেপে Subject নিয়ে আলোকপাত করার চেষ্টা করতেছি । subject :- সাধারণত verb কে "কে" দ্বারা প্রশ্ন করলে Subject পাওয়া যায়। তবে verb টি যদি have verb হয় সেক্ষেত্রে verb কে "কার" দ্বারা প্রশ্ন করলে subject পাওয়া যায়। যেমনঃ Rakin is reading a book. Shanta plays football. Rumu sings a song. বাক্য তিনটির verb কে এখন আমরা 'কে' দ্বারা প্রশ্...
Read more